Consider the following diagram
(9.12) 𝒰 add κ ¯ ( 𝒜 ) \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒰 add κ ¯ ( ℬ ) \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{B}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒰 add κ ¯ ( ℬ ) / 𝒰 add κ ¯ ( 𝒜 ) \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{B}})/\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒰 add κ ¯ ( 𝒜 ) \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒰 add κ ¯ ( ℬ ) \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{B}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒰 add κ ¯ ( ℬ / 𝒜 ) . \textstyle{\underline{{\mathcal{U}}_{\mathrm{add}}^{\kappa}}({\mathcal{B}}/{\mathcal{A}})\,.}
By applying the functor (9.11 9.12 9.9 𝒮 \mathcal{S}
(9.13) K ( 𝒜 ) \textstyle{K({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} K ( ℬ ) \textstyle{K({\mathcal{B}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} K ( ℬ ) / K ( 𝒜 ) \textstyle{K({\mathcal{B}})/K({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} K ( 𝒜 ) \textstyle{K({\mathcal{A}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} K ( ℬ ) \textstyle{K({\mathcal{B}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} K ( ℬ / 𝒜 ) , \textstyle{K({\mathcal{B}}/{\mathcal{A}})\,,}
where the upper row is a homotopy cofiber sequence. Now, an
argument analogous to the one used in the proof of
proposition 7.19 9.13