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Lemma 3.18 . Suppose X X U ∐ V → X U\coprod V\to X
U ∩ V \textstyle{U\cap V\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} U ∐ V \textstyle{U\coprod V\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} X . \textstyle{X.}
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Proof. It suffices to show that the following diagram of algebra objects is Cartesian
𝒪 X \textstyle{\mathcal{O}_{X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 V \textstyle{\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 U \textstyle{\mathcal{O}_{U}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 U ∩ V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}}
Let u : U ∐ V → X u:U\coprod V\to X u ∗ ( − ) ≃ ( − ) ⊗ 𝒪 X ( 𝒪 U × 𝒪 V ) u^{*}(-)\simeq(-)\otimes_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{V})
𝒪 U × 𝒪 V \textstyle{\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 U ∩ V × 𝒪 V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}\times\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 U × 𝒪 U ∩ V \textstyle{\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{U\cap V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} 𝒪 U ∩ V × 𝒪 U ∩ V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}\times\mathcal{O}_{U\cap V}}
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