0NX4
Proof. It suffices to show that the following diagram of algebra objects is Cartesian
๐ช X \textstyle{\mathcal{O}_{X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช V \textstyle{\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช U \textstyle{\mathcal{O}_{U}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช U โฉ V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}}
Let u : U โ โ V โ X u:U\coprod V\to X u โ โ ( โ ) โ ( โ ) โ ๐ช X ( ๐ช U ร ๐ช V ) u^{*}(-)\simeq(-)\otimes_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{V})
๐ช U ร ๐ช V \textstyle{\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช U โฉ V ร ๐ช V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}\times\mathcal{O}_{V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช U ร ๐ช U โฉ V \textstyle{\mathcal{O}_{U}\times\mathcal{O}_{U\cap V}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} ๐ช U โฉ V ร ๐ช U โฉ V \textstyle{\mathcal{O}_{U\cap V}\times\mathcal{O}_{U\cap V}}
โ