[05YU]
Lemma 4.3.4 . Let n ≥ − 2 n\geq-2 𝒞 \mathcal{C} m m − 1 ≤ m ≤ ∞ -1\leq m\leq\infty f : A → B f\colon A\to B ( n + 1 2 ) \left(n+\frac{1}{2}\right) n n
[05YV]
Proof. To show that f : A → B f\colon A\to B n n
A \textstyle{A\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} X \textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} B \textstyle{B\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} Y , \textstyle{Y,}
in which the right vertical arrow is n n 4.3.3 4.1.3
A \textstyle{A\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} τ ≤ n + 1 𝒞 X \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} B \textstyle{B\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} τ ≤ n + 1 𝒞 Y , \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}Y,}
which, by 4.1.4
τ ≤ n + 1 𝒞 A \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}A\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} τ ≤ n + 1 𝒞 X \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} τ ≤ n + 1 𝒞 B \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}B\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces} τ ≤ n + 1 𝒞 Y , \textstyle{\tau_{\leq n+1}^{\mathcal{C}}Y,}
which is contractible since the left vertical arrow is an equivalence.
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