ScalingStacks

The morphisms in $\boldsymbol{\mathrm{Web}}_{N}$ are generated under composition, tensor product, and duality by identity morphisms and trivalent merge and split vertices:

$$\hbox to29.25pt{\vbox to29.65pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 14.62637pt\lower-0.59999pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@setdash{3.0pt,3.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={3.0pt,3.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@stroke@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.4} \lxSVG@fill@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.4} {}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -19.69 39.37 L 19.69 39.37 M -19.69 0 L 19.69 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} 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\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 19.69 C -7.46 23.99 -9.84 30.75 -9.84 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}{}{}{{}}{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{}{}{}{{}}{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{}{}{}{{}}{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}{}{}{{}}{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {{}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} 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}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}{}{}{{}}{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {{{}}} } \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope } \lxSVG@closescope {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-16.75868pt}{7.21648pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -23.19 9.99)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-12.60585pt}{19.55182pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -17.44 27.05)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{9.08646pt}{18.8921pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 12.57 26.14)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}$$

The merge and split vertices encode the natural $U_{q}(\mathfrak{gl}_{N})$-intertwiners

$$\textstyle\bigwedge^{a}(V)\otimes\bigwedge^{b}(V)\to\bigwedge^{a+b}(V)\quad\text{and}\quad\bigwedge^{a+b}(V)\to\bigwedge^{a}(V)\otimes\bigwedge^{b}(V),$$

respectively. The local relations in $\boldsymbol{\mathrm{Web}}_{N}$ include

(2.1)

$$\displaystyle\hbox to37.99pt{\vbox to46.72pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 22.82822pt\lower-0.59999pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@setdash{3.0pt,3.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={3.0pt,3.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@stroke@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.4} \lxSVG@fill@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.4} {}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -15.75 62.99 L 15.75 62.99 M -15.75 0 L 15.75 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 15.75}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{}{}{}\lx@inpgf@ignorespaces{{}}{{}}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {{}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{5.6595pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 7.83)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} 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\lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@setdash{3.0pt,3.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={3.0pt,3.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@stroke@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.4} \lxSVG@fill@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.4} {}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -15.75 62.99 L 15.75 62.99 M -15.75 0 L 15.75 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{}{}{}\lx@inpgf@ignorespaces{{}}{{}}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {{}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{24.43803pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 33.81)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope 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to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@setdash{3.0pt,3.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={3.0pt,3.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces\lxSVG@stroke@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.4} \lxSVG@fill@opacity{0.4}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.4} {}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -15.75 31.5 L 15.75 31.5 M -15.75 -31.5 L 15.75 -31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 -15.75 C 9.41 -4.77 -9.41 -18.85 -15.75 -7.87}{fill:none} 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together with the reflections of these relations in a vertical line. Edges labeled zero are to be erased and edges labeled by negative integers or integers greater than $N$ force the morphism to be the zero morphism. The local relations ensure that $\boldsymbol{\mathrm{Web}}_{N}\cong\mathrm{Fund}(U_{q}(\mathfrak{gl}_{N}))$ as ${\mathbb{C}}(q)$-linear pivotal categories, see [CKM14, QS19, TVW17]. In the following, we also consider an integral version of $\boldsymbol{\mathrm{Web}}_{N}$, which is defined over ${\mathbb{Z}}[q^{\pm 1}]$ and also satisfies the relations (2.1).