ScalingStacks

3.4. Reidemeister II moves

We will use Elias–Khovanov’s Soergel calculus [EK10a] to describe the chain maps associated to Reidemeister II and III moves. The Soergel calculus of type An−1A_{n-1} is a graphical incarnation of the 2-category of Soergel bimodules, which categorifies the Hecke algebra for SnS_{n}. For any N≥2N\geq 2, it admits a 2-functor to the monoidal subcategory of 𝐅𝐨𝐚𝐦N\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N} of webs and foams with 2​n2n boundary components with suitable orientations, see e.g. [MV10]. Instead of describing these 22-functors formally, we will just use the Soergel calculus as shorthand notation for foams using the following dictionary:

  • •

    In the A1A_{1} calculus, we have only a blue object, which we will interpret as the two strand web

          ↦                     2    .\hbox to2.85pt{\vbox to25.61pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.42264pt\lower-12.80356pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 -15.75 L 0 15.75}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\;\;\mapsto\;\;\hbox to20.27pt{\vbox to23.96pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 10.13559pt\lower-11.98091pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.87 -15.75 L 7.87 -13.39 C 7.87 -8.58 3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C 3.4 7.34 7.87 8.58 7.87 13.39 L 7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 3.94 L 0 -3.94}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 -15.75 L -7.87 -13.39 C -7.87 -8.58 -3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C -3.4 7.34 -7.87 8.58 -7.87 13.39 L -7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{-5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 -7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-4.54665pt}{-1.6111pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -6.29 -2.23)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}.
  • •

    In the A2A_{2} calculus, we have red and blue objects, interpreted as three strand webs

          ↦                           2    ,      ↦                           2    .\hbox to2.85pt{\vbox to25.61pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.42264pt\lower-12.80356pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 -15.75 L 0 15.75}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\;\;\mapsto\;\;\hbox to31.65pt{\vbox to23.96pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 21.51651pt\lower-11.98091pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -23.62 -15.75 L -23.62 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{-17.07138pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 -23.62 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.87 -15.75 L 7.87 -13.39 C 7.87 -8.58 3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C 3.4 7.34 7.87 8.58 7.87 13.39 L 7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 3.94 L 0 -3.94}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 -15.75 L -7.87 -13.39 C -7.87 -8.58 -3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C -3.4 7.34 -7.87 8.58 -7.87 13.39 L -7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{-5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 -7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-4.54665pt}{-1.6111pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -6.29 -2.23)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}},\qquad\hbox to2.85pt{\vbox to25.61pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.42264pt\lower-12.80356pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,0,0}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 -15.75 L 0 15.75}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\;\;\mapsto\;\;\hbox to31.65pt{\vbox to23.96pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 10.13559pt\lower-11.98091pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 23.62 -15.75 L 23.62 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{17.07138pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 23.62 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.87 -15.75 L 7.87 -13.39 C 7.87 -8.58 3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C 3.4 7.34 7.87 8.58 7.87 13.39 L 7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 3.94 L 0 -3.94}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 -15.75 L -7.87 -13.39 C -7.87 -8.58 -3.4 -7.34 0 -3.94 L 0 3.94 C -3.4 7.34 -7.87 8.58 -7.87 13.39 L -7.87 14.09}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{-5.69046pt}{10.78093pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 -7.87 14.92)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-4.54665pt}{-1.6111pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -6.29 -2.23)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}.
  • •

    Start dots and end dots (in any color) correspond to zip and unzip foams.

  • •

    The trivalent vertices and correspond to digon creation and annihilation foams respectively. We also use cups       :=      ∘           \hbox to12.8pt{\vbox to7.11pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.40178pt\lower-0.71132pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 7.87 C -7.87 3.51 -4.36 0 0 0 C 4.36 0 7.87 3.51 7.87 7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}:=\hbox to12.8pt{\vbox to12.8pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.40178pt\lower-6.40178pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 7.87 L 0 0 L 0 -7.87 M 0 0 L 7.87 7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\circ\hbox to2.85pt{\vbox to7.82pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.4226pt\lower-1.4226pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{}{{{}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{}{}{}{}{}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@fill\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 1.97 0 C 1.97 -1.09 1.09 -1.97 0 -1.97 C -1.09 -1.97 -1.97 -1.09 -1.97 0 C -1.97 1.09 -1.09 1.97 0 1.97 C 1.09 1.97 1.97 1.09 1.97 0 Z M 0 0}{stroke:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}} and caps       :=           ∘      \hbox to12.8pt{\vbox to7.11pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.40178pt\lower-6.40178pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 -7.87 C -7.87 -3.51 -4.36 0 0 0 C 4.36 0 7.87 -3.51 7.87 -7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}:=\hbox to2.85pt{\vbox to7.82pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.4226pt\lower-6.40178pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 -7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{}{{{}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{}{}{}{}{}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@fill\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 1.97 0 C 1.97 1.09 1.09 1.97 0 1.97 C -1.09 1.97 -1.97 1.09 -1.97 0 C -1.97 -1.09 -1.09 -1.97 0 -1.97 C 1.09 -1.97 1.97 -1.09 1.97 0 Z M 0 0}{stroke:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\circ\hbox to12.8pt{\vbox to12.8pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.40178pt\lower-6.40178pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -7.87 -7.87 L 0 0 L 0 7.87 M 0 0 L 7.87 -7.87}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}.

  • •

    The 6-valent vertex corresponds to the foam shown in Figure 1.

The Reidemeister II chain maps are the following.

(3.2) ⟦                         ⟧\left\llbracket\hbox to17.43pt{\vbox to29.88pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.44513pt\lower-2.13396pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=4.26791pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 C 11.81 8.34 0 9.38 0 17.72 C 0 26.05 11.81 27.1 11.81 35.43}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 C 11.81 8.34 0 9.38 0 17.72 C 0 26.05 11.81 27.1 11.81 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{8.5359pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 11.81 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=4.26791pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 C 0 8.34 11.81 9.38 11.81 17.72 C 11.81 26.05 0 27.1 0 35.43}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 C 0 8.34 11.81 9.38 11.81 17.72 C 11.81 26.05 0 27.1 0 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right\rrbracket ⟦                 ⟧\left\llbracket\hbox to17.43pt{\vbox to26.81pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.44513pt\lower-0.59999pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 L 11.81 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{8.5359pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 11.81 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right\rrbracket −-∅\emptyset∅\emptyset

[1−      ]\begin{bmatrix}1&-\hbox to9.96pt{\vbox to5.69pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\enskip\lower-4.97905pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -5.91 -5.91 C -5.91 -2.64 -3.27 0 0 0 C 3.27 0 5.91 -2.64 5.91 -5.91}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\end{bmatrix}

[1      ]\begin{bmatrix}1\\ \hbox to9.96pt{\vbox to5.69pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\enskip\lower-0.71132pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -5.91 5.91 C -5.91 2.64 -3.27 0 0 0 C 3.27 0 5.91 2.64 5.91 5.91}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\end{bmatrix}

    ⟦                         ⟧\left\llbracket\hbox to17.43pt{\vbox to29.88pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.44513pt\lower-2.13396pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=4.26791pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 C 0 8.34 11.81 9.38 11.81 17.72 C 11.81 26.05 0 27.1 0 35.43}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 C 0 8.34 11.81 9.38 11.81 17.72 C 11.81 26.05 0 27.1 0 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=4.26791pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 C 11.81 8.34 0 9.38 0 17.72 C 0 26.05 11.81 27.1 11.81 35.43}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 C 11.81 8.34 0 9.38 0 17.72 C 0 26.05 11.81 27.1 11.81 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{8.5359pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 11.81 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right\rrbracket ⟦                 ⟧\left\llbracket\hbox to17.43pt{\vbox to26.81pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.44513pt\lower-0.59999pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 L 0 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{0.0pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 0 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}{}{}{}{{}}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 11.81 0 L 11.81 33.77}{fill:none} {{}{{}}{}{}{{}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{0.0}{1.0}{-1.0}{0.0}{8.5359pt}{25.00775pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(0.0 1.0 -1.0 0.0 11.81 34.6)} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray=none,stroke-dashoffset=0.0pt} \lxSVG@begingroup@{stroke-linecap=round} \lxSVG@begingroup@{stroke-linejoin=round} \lxSVG@drawpath@unclipped{M -4.21 5.32 C -3.44 2.13 -1.73 0.62 0 0 C -1.73 -0.62 -3.44 -2.13 -4.21 -5.32}{fill:none} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}}\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right\rrbracket −-∅\emptyset∅\emptyset

[1      ]\begin{bmatrix}1&\hbox to9.96pt{\vbox to5.69pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\enskip\lower-4.97905pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -5.91 -5.91 C -5.91 -2.64 -3.27 0 0 0 C 3.27 0 5.91 -2.64 5.91 -5.91}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\end{bmatrix}

[1−      ]\begin{bmatrix}1\\ -\hbox to9.96pt{\vbox to5.69pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\enskip\lower-0.71132pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{0,0,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.42264pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M -5.91 5.91 C -5.91 2.64 -3.27 0 0 0 C 3.27 0 5.91 2.64 5.91 5.91}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\end{bmatrix}

In both cases we have chosen to order the crossings from the top to the bottom. Now we can record two observations concerning the composite (inverse) Reidemeister II chain maps R​2±R2_{\pm} and R​2±−1R2^{-1}_{\pm}.

0NAE

Lemma 3.10. The chain maps R​2±:⟦L±0⟧→⟦L±1⟧R2_{\pm}\colon\left\llbracket L^{0}_{\pm}\right\rrbracket\to\left\llbracket L^{1}_{\pm}\right\rrbracket and R​2±−1:⟦L±x−1⟧→⟦L±x⟧R2^{-1}_{\pm}\colon\left\llbracket L^{x-1}_{\pm}\right\rrbracket\to\left\llbracket L^{x}_{\pm}\right\rrbracket preserve the internal and external homological gradings individually and their only non-zero components involve palindromic resolutions.

0NAF

Lemma 3.11. Let W±0=W±0​(τ,o)W^{0}_{\pm}=W^{0}_{\pm}(\tau,o) and W±x=W±x​(τ,o)W^{x}_{\pm}=W^{x}_{\pm}(\tau,o) be pairs of corresponding webs in ⟦L±0⟧\left\llbracket L^{0}_{\pm}\right\rrbracket and ⟦L±x⟧\left\llbracket L^{x}_{\pm}\right\rrbracket respectively. Further, let s∈{p,t}2​ns\in\{p,t\}^{2n} be a palindrome in which tt appears 2​k2k times, and consider W±1=W±1​(τ,o,s)W^{1}_{\pm}=W^{1}_{\pm}(\tau,o,s) and W±x−1=W±x−1​(τ,o,s)W^{x-1}_{\pm}=W^{x-1}_{\pm}(\tau,o,s) in ⟦L±1⟧\left\llbracket L^{1}_{\pm}\right\rrbracket and ⟦L±x−1⟧\left\llbracket L^{x-1}_{\pm}\right\rrbracket respectively. Then

R​2−​(W−0,W−1)\displaystyle R2_{-}(W^{0}_{-},W^{1}_{-}) =(−1)k​R​2+​(W+0,W+1)\displaystyle=(-1)^{k}R2_{+}(W^{0}_{+},W^{1}_{+})
R​2+−1​(W+x−1,W+x)\displaystyle R2^{-1}_{+}(W^{x-1}_{+},W^{x}_{+}) =(−1)k​R​2−−1​(W−x−1,W−x).\displaystyle=(-1)^{k}R2^{-1}_{-}(W^{x-1}_{-},W^{x}_{-}).
0NAG

Proof. In a single Reidemeister II move, the identity resolution is always sent to the identity resolution via the identity. The maps involving the resolution with two thick edges are negatives of each other, when comparing the two types of Reidemeister II moves with fixed order of crossings as in (3.2). ∎

Original mathematics by the credited authors. Source collection and HTML conversion remain in progress.

Scott Morrison, Kevin Walker, Paul Wedrich

Original source: arXiv:1907.12194v5