ScalingStacks

Finally, we equip $\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}$ with the structure of a braided monoidal 2-category. This consists of the following data:

1. (1)

   The semistrict monoidal 2-category $(\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N},\otimes,I)$.

2. (2)

   A pseudonatural equivalence $R\colon\otimes\to\otimes^{\textrm{op}}$, which assigns to pairs of objects $A$ and $B$ the 1-morphism $R_{A,B}\colon A\otimes B\to B\otimes A$ given by the Morse datum of an (oriented) braid diagram of the form

   $$R_{A,B}\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{def}}}{{=}}\hbox to19.92pt{\vbox to25.61pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}$$

   In this intentionally asymmetric braid diagram, we see boundary points $A\otimes B$ at the bottom and $B\otimes A$ at the top. Additionally, for a pair of 1-morphisms $f\colon A\to A^{\prime}$ and $g\colon B\to B^{\prime}$, it assigns the 2-isomorphism induced by the isotopy:

   $$\hbox to21.89pt{\vbox to34.54pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-10.35829pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 -11.81 M 0 -11.81 L 0 0 L 11.81 0 L 11.81 -11.81 Z M 11.81 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 -11.81 M 15.75 -11.81 L 15.75 0 L 27.56 0 L 27.56 -11.81 Z M 27.56 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{-4.85814pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 -6.72)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{-5.51785pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 -7.64)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -13.78 L 1.97 -11.81 M 9.84 -13.78 L 9.84 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -13.78 L 5.91 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -13.78 L 17.72 -11.81 M 25.59 -13.78 L 25.59 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -13.78 L 21.65 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to21.89pt{\vbox to34.54pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.90633pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 31.5 M 0 31.5 L 0 43.31 L 11.81 43.31 L 11.81 31.5 Z M 11.81 43.31}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 31.5 M 15.75 31.5 L 15.75 43.31 L 27.56 43.31 L 27.56 31.5 Z M 27.56 43.31}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.64355pt}{25.7797pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 18.88 35.67)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.42668pt}{26.4394pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.36 36.58)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 43.31 L 1.97 45.27 M 9.84 43.31 L 9.84 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 43.31 L 5.91 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 43.31 L 17.72 45.27 M 25.59 43.31 L 25.59 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 43.31 L 21.65 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}$$

3. (3)

   Additionally there is an invertible modification $\tilde{R}_{-|-,-}$, which associates to triples $A,B$ and $C$ of objects the 2-isomorphisms

   $$\tilde{R}_{(A|B,C)}\colon(R_{A,B}\otimes C)(B\otimes R_{A,C})\to R_{A,B\otimes C}$$

   which are induced by isotopies of the following type

   $$\hbox to31.3pt{\vbox to48.37pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 33.46 31.5 L 33.46 33.86 C 33.46 44.97 17.72 46.36 17.72 57.48 L 17.72 62.99 M 41.34 31.5 L 41.34 37.01 C 41.34 48.12 25.59 49.51 25.59 60.63 L 25.59 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 37.4 31.5 L 37.4 35.43 C 37.4 46.55 21.65 47.94 21.65 59.05 L 21.65 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 31.5 L 17.72 45.67 C 17.72 52.56 33.46 46.65 33.46 53.54 L 33.46 62.99 M 25.59 31.5 L 25.59 40.94 C 25.59 47.84 41.34 41.93 41.34 48.82 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 31.5 L 21.65 43.31 C 21.65 50.2 37.4 44.29 37.4 51.18 L 37.4 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 31.5 L 17.72 45.67 C 17.72 52.56 33.46 46.65 33.46 53.54 L 33.46 62.99 M 25.59 31.5 L 25.59 40.94 C 25.59 47.84 41.34 41.93 41.34 48.82 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 31.5 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\lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 37.4 0 L 37.4 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to31.3pt{\vbox to48.37pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 7.87 C 17.72 27.36 1.97 35.63 1.97 55.12 L 1.97 62.99 M 25.59 0 L 25.59 7.87 C 25.59 27.36 9.84 35.63 9.84 55.12 L 9.84 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 7.87 C 21.65 27.36 5.91 35.63 5.91 55.12 L 5.91 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 33.46 0 L 33.46 7.87 C 33.46 27.36 17.72 35.63 17.72 55.12 L 17.72 62.99 M 41.34 0 L 41.34 7.87 C 41.34 27.36 25.59 35.63 25.59 55.12 L 25.59 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} 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   Similarly, the definition of a braided monoidal 2-category calls for the existence of an invertible modification $\tilde{R}_{-,-|-}$, which, however, in the case of $\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}$ is simply the identity modification.

Using the functoriality of Khovanov–Rozansky homology it is straightforward to check that these data satisfy the axioms of a braided monoidal 2-category as in [BN96, Definition 6].