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6. A pivotal braided monoidal 2-category

In this section, we define a semistrict braided monoidal 2-category 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} in the sense of [KV94] (and in fact, in the stricter sense of [BN96]) from Khovanov–Rozansky homology. The spaces of 2-morphisms form bigraded abelian groups.

Recall that one expects that braided monoidal 2-categories should be the same as 4-categories which are ‘boring at the bottom two levels’, so there is a shift by two in the dimensions of the morphisms relative to the previous section.

The available definition of a braided monoidal 2-category has already been strictified quite a bit, and this necessitates jumping through some hoops to even get started. Rather than defining the morphisms of the 2-category (which would be the 3-morphisms of the corresponding 4-category) to simply be arbitrary embedded tangles, we will need to introduce a particular combinatorial model of a tangle diagram.

0NBI

Definition 6.1. The category 𝐓𝐃\boldsymbol{\mathrm{TD}} of oriented tangle diagrams has objects given by finite words in the alphabet {↑,↓}\{\uparrow,\downarrow\}, including the empty word. The morphisms are admissible words in the alphabet {cupi,capi,crossingi,crossingi−1}i≥0\{\textrm{cup}_{i},\textrm{cap}_{i},\textrm{crossing}_{i},\textrm{crossing}^{-1}_{i}\}_{i\geq 0} of generating morphisms.

The realization r⁡(t)r(t) of a morphism t:A→Bt\colon A\to B is a tangle diagram drawn in the square [0,1]×[0,1]{[0,1]}\times{[0,1]} by first placing the words AA and BB as collections of oriented tangle endpoints on [0,1]×{0}{[0,1]}\times\{0\} and [0,1]×{1}{[0,1]}\times\{1\} respectively, and then constructing an oriented tangle diagram starting from the bottom AA by attaching cups, caps, crossings or inverse crossings with ii parallel strands to the left, as specified by the tt. The word tt is defined to be admissible if this procedure succeeds in generating an oriented tangle diagram. We will consider these diagrams up to individually rescaling the xx- and yy-coordinates in [0,1]×[0,1]{[0,1]}\times{[0,1]} by orientation-preserving diffeomorphisms of [0,1]{[0,1]}. As such, every morphism in 𝐓𝐃\boldsymbol{\mathrm{TD}} has a unique realization, and we say that the morphism is the Morse data of the oriented tangle diagram.

The composition of morphisms in 𝐓𝐃\boldsymbol{\mathrm{TD}} is given by concatenating lists of generating morphisms.

The remainder of this section contains the definition of the semistrict braided monoidal 2-category 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}. We will first define this as a 22-category and subsequently add a semistrict monoidal structure and a braiding.

6.1. A strict 2-category

The strict 2-category 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} consists of the following data:

  • •

    The objects are given by finite words in the alphabet {↑,↓}\{\uparrow,\downarrow\}, including the empty word.

  • •

    The 1-morphisms are admissible words in the alphabet

    {cupi,capi,crossingi,crossingi−1}i≥0\{\textrm{cup}_{i},\textrm{cap}_{i},\textrm{crossing}_{i},\textrm{crossing}^{-1}_{i}\}_{i\geq 0}

    of generating morphisms.

    The horizontal composition of 1-morphisms is given by concatenation of words, which is strictly associative.

  • •

    Given a pair of 11-morphisms f,g:A→Bf,g\colon A\to B, the bigraded abelian group of 22-morphisms from ff to gg is defined to be

    𝐊𝐡𝐑N​(f,g):=KhRN​(Tr⁡(r⁡(f),r⁡(g))):=KhRN​(                      f   
     

    g

     
                             )    .    \boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g):=\mathrm{KhR}_{N}(\Tr(r(f),r(g))):=\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to27.94pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.42268pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{21.99286pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 30.43)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right).

    Here the link diagram Tr⁡(r⁡(f),r⁡(g))\Tr(r(f),r(g)) is constructed from the realizations r⁡(f)r(f) and r⁡(g)r(g) by reflecting r⁡(g)r(g) in a horizontal line, reversing its orientations, composing with r⁡(f)r(f) and closing off as shown in the figure22 2 We omit the realizations r⁡(−)r(-) in this and all following figures.. Note that this is well-defined because the Khovanov–Rozansky invariants of two link diagrams, which are planar-isotopic through link diagrams with identical Morse data, are canonically isomorphic.

    For 1-morphisms f,g:A→Bf,g\colon A\to B and k,l:B→Ck,l\colon B\to C, the horizontal composition of 2-morphisms 𝐊𝐡𝐑N​(f,g)⊗𝐊𝐡𝐑N​(k,l)→𝐊𝐡𝐑N​(f​k,g​l)\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g)\otimes\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(k,l)\to\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(fk,gl) is defined as the homogeneous homomorphism computed as follows:

    KhRN​(                      f   
     

    g

     
                             )    ⊗KhRN    ​(                      k   
     

    l

     
                             )    →KhRN​(                      k   
     

    l

     
                            f   
     

    g

     
                             )    →KhRN​(                      k   
     

    l

     
                      f   
     

    g

     
                             )    →KhRN​(                     f¯   k¯   
     

    l¯

     
           
     

    g¯

     
                             )    \mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to27.94pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.42268pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{21.99286pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 30.43)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\otimes\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to27.3pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 3.78235pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} 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{\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.74852pt}{30.94876pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.42 42.82)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.74852pt}{41.61855pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.42 57.59)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

    Here we have used the monoidality map between the tensor product of Khovanov–Rozansky homologies of two link diagrams and the homology of the split disjoint union of the diagrams, and then cobordism maps induced by a collection of saddles and a particular type of planar isotopy. Using functoriality of KhRN\mathrm{KhR}_{N}, it is easy to check that the horizontal composition is associative.

    Now, for 1-morphisms f,g,h:A→Bf,g,h\colon A\to B, the vertical composition of 2-morphisms 𝐊𝐡𝐑N​(f,g)⊗𝐊𝐡𝐑N​(g,h)→𝐊𝐡𝐑N​(f,h)\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g)\otimes\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(g,h)\to\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,h) is defined as the homogeneous homomorphism computed as follows:

    KhRN​(                      f   
     

    g

     
                             )    ⊗KhRN    ​(                      g   
     

    h

     
                             )    →KhRN​(                      g   
     

    h

     
                            f   
     

    g

     
                             )    →KhRN​(                      f   
     

    h

     
                             )    \mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to27.94pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.42268pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{21.99286pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 30.43)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\otimes\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.17pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.65042pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.49373pt}{4.7446pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.83 6.57)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.31741pt}{21.38176pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.82 29.59)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.17pt{\vbox to82.6pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.65042pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 73.82 L 2.46 83.66 M 12.3 73.82 L 12.3 83.66}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 73.82 L 7.38 83.66}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 98.43 C 12.3 100.58 15.07 100.89 17.22 100.89 L 17.22 100.89 C 19.38 100.89 22.15 100.58 22.15 98.43 L 22.15 59.06 C 22.15 56.9 19.38 56.59 17.22 56.59 L 17.22 56.59 C 15.07 56.59 12.3 56.9 12.3 59.06}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} 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{{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{21.99286pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 30.43)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.17pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.65042pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 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\lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.31741pt}{21.38176pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.82 29.59)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

    Here, the interesting map is induced by a link cobordism which is cylindrical over the top and bottom quarters of the link diagrams, and which can be constructed as r⁡(g)×halfcircler(g)\times\mathrm{halfcircle} in the middle. More explicitly, it consists of a composition of elementary cobordisms which cancel cups with caps and positive with negative crossings in r⁡(g)r(g) and its reflection.

    The identity 2-morphism 𝟏f\mathbf{1}_{f} on a 1-morphism f:A→Bf\colon A\to B is defined to be the image of the unit under the homomorphism

    ℤ=KhRN​(∅)→KhRN​(                      𝟏A   
     

    𝟏A

     
                             )    →KhRN​(                      f   
     

    f

     
                             )    {\mathbb{Z}}=\mathrm{KhR}_{N}(\emptyset)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to29.56pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.03981pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} 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\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.25374pt}{21.86786pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.73 30.26)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

    which is induced by the link cobordism which first creates a collection of concentric circles as specified by AA, and then pairs of cups and caps, crossings and inverse crossings, to form r⁡(f)r(f) composed with its reflection. It is a consequence of functoriality that the vertical composition of 2-morphisms is strictly associative and that 𝟏f\mathbf{1}_{f} is indeed an identity 2-morphism. Finally, a similar check establishes the interchange law that specifies the compatibility of the horizontal and vertical composition of 2-morphisms.

6.2. A semistrict monoidal 2-category

Next, we show that the 2-category 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} admits a semistrict monoidal structure. Following [BN96, Lemma 4] and [Cra98], this consists of the following data:

  1. (1)

    The object I=∅I=\emptyset.

  2. (2)

    For any two objects AA and BB, another object A⊗BA\otimes B, which we define as the concatenation of the words AA and BB.

  3. (3)

    For any 1-morphism f:A→A′f\colon A\to A^{\prime} and any object BB, a 1-morphism f⊗B:A⊗B→A′⊗Bf\otimes B\colon A\otimes B\to A^{\prime}\otimes B, which we define as being represented by the same word of generating morphisms as ff. (This has the effect of placing an identity tangle diagram to the right of ff.)

  4. (4)

    For any 1-morphism g:B→B′g\colon B\to B^{\prime} and any object AA, a 1-morphism A⊗g:A⊗B→A⊗B′A\otimes g\colon A\otimes B\to A\otimes B^{\prime}, which we define as being represented by the same word of generating morphisms as gg, except that all subscripts are increased by the length of the word AA. (This has the effect of placing an identity tangle diagram on AA to the left of gg.)

  5. (5)

    For any object BB and each 2-morphism α:f→f′\alpha\colon f\to f^{\prime}, a 2-morphism α⊗B:f⊗B→f′⊗B\alpha\otimes B\colon f\otimes B\to f^{\prime}\otimes B, defined as the image of α\alpha under the homomorphism

    KhRN​(                      f   
     

    f′

     
                             )    →KhRN​(                      f   
     

    f′

     
                            𝟏B   
     

    𝟏B

     
                             )    \mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.84pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.318pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 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\lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.98499pt}{21.72452pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.75 30.06)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to53.02pt{\vbox to48.46pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.318pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 36.42 M 12.3 14.76 L 12.3 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 51.18 C 12.3 53.33 15.07 53.64 17.22 53.64 L 50.69 53.64 C 52.84 53.64 55.61 53.33 55.61 51.18 L 55.61 0 C 55.61 -2.15 52.84 -2.46 50.69 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 51.18 C 7.38 55.49 12.92 56.1 17.22 56.1 L 50.69 56.1 C 55 56.1 60.53 55.49 60.53 51.18 L 60.53 0 C 60.53 -4.31 55 -4.92 50.69 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 51.18 C 2.46 57.64 10.76 58.56 17.22 58.56 L 50.69 58.56 C 57.15 58.56 65.45 57.64 65.45 51.18 L 65.45 0 C 65.45 -6.46 57.15 -7.38 50.69 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 36.42 M 0 36.42 L 0 51.18 L 14.76 51.18 L 14.76 36.42 Z M 14.76 51.18}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.98499pt}{30.26033pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.75 41.87)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 24.61 L 20.18 26.57 M 30.02 24.61 L 30.02 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 24.61 L 25.1 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 41.34 C 30.02 43.49 32.79 43.8 34.94 43.8 L 34.94 43.8 C 37.09 43.8 39.86 43.49 39.86 41.34 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 41.34 C 25.1 45.65 30.63 46.26 34.94 46.26 L 34.94 46.26 C 39.25 46.26 44.78 45.65 44.78 41.34 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 41.34 C 20.18 47.8 28.48 48.72 34.94 48.72 L 34.94 48.72 C 41.4 48.72 49.7 47.8 49.7 41.34 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 26.57 M 17.72 26.57 L 17.72 41.34 L 32.48 41.34 L 32.48 26.57 Z M 32.48 41.34}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{14.57767pt}{11.21198pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 20.17 15.51)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{9.99426pt}{23.30438pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 13.83 32.25)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

    which is induced by the link cobordism that is cylindrical, except for the a collection of disks that create a collection of nested circles.

  6. (6)

    For any object AA and each 2-morphism β:g→g′\beta\colon g\to g^{\prime}, a 2-morphism A⊗β:A⊗g→A⊗g′A\otimes\beta\colon A\otimes g\to A\otimes g^{\prime}, defined as the image of β\beta under the homomorphism

    KhRN​(                      g   
     

    g′

     
                             )    →KhRN​(                      𝟏A   
     

    𝟏A

     
                            g   
     

    g′

     
                             )    \mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.67pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.15393pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.49373pt}{4.7446pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.83 6.57)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.82092pt}{21.72452pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.52 30.06)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to53.74pt{\vbox to48.46pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.03981pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 36.42 M 12.3 14.76 L 12.3 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 51.18 C 12.3 53.33 15.07 53.64 17.22 53.64 L 50.69 53.64 C 52.84 53.64 55.61 53.33 55.61 51.18 L 55.61 0 C 55.61 -2.15 52.84 -2.46 50.69 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 51.18 C 7.38 55.49 12.92 56.1 17.22 56.1 L 50.69 56.1 C 55 56.1 60.53 55.49 60.53 51.18 L 60.53 0 C 60.53 -4.31 55 -4.92 50.69 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 51.18 C 2.46 57.64 10.76 58.56 17.22 58.56 L 50.69 58.56 C 57.15 58.56 65.45 57.64 65.45 51.18 L 65.45 0 C 65.45 -6.46 57.15 -7.38 50.69 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 36.42 M 0 36.42 L 0 51.18 L 14.76 51.18 L 14.76 36.42 Z M 14.76 51.18}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{1.8766pt}{4.09879pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 2.6 5.67)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-2.7068pt}{30.41757pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -3.75 42.09)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 24.61 L 20.18 26.57 M 30.02 24.61 L 30.02 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 24.61 L 25.1 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 41.34 C 30.02 43.49 32.79 43.8 34.94 43.8 L 34.94 43.8 C 37.09 43.8 39.86 43.49 39.86 41.34 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 41.34 C 25.1 45.65 30.63 46.26 34.94 46.26 L 34.94 46.26 C 39.25 46.26 44.78 45.65 44.78 41.34 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 41.34 C 20.18 47.8 28.48 48.72 34.94 48.72 L 34.94 48.72 C 41.4 48.72 49.7 47.8 49.7 41.34 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 26.57 M 17.72 26.57 L 17.72 41.34 L 32.48 41.34 L 32.48 26.57 Z M 32.48 41.34}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{16.29749pt}{11.85779pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 22.55 16.41)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{10.98283pt}{23.14714pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 15.2 32.03)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

    which is again induced by the link cobordism that is cylindrical, except for the a collection of disks that create a collection of nested circles.

  7. (7)

    For any two 1-morphisms f:A→A′f\colon A\to A^{\prime}, g:B→B′g\colon B\to B^{\prime}, a 2-isomorphism

    ⨂f,g:(A⊗g)​(f⊗B′)→(f⊗B)​(A′⊗g)\textstyle\bigotimes_{f,g}\colon(A\otimes g)(f\otimes B^{\prime})\to(f\otimes B)(A^{\prime}\otimes g)

    which we define as the image of the identity 2-morphism on (A⊗g)​(f⊗B′)(A\otimes g)(f\otimes B^{\prime}) under the isotopy-induced homomorphism:

    (6.1) KhRN​(                      f   
     

    f

     
                            g   
     

    g

     
                             )    →KhRN​(                      f   
     

    f

     
                            g   
     

    g

     
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24.61 L 30.02 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 24.61 L 25.1 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 54.13 L 30.02 68.9 C 30.02 71.05 32.79 71.36 34.94 71.36 L 34.94 71.36 C 37.09 71.36 39.86 71.05 39.86 68.9 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84 L 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 54.13 L 25.1 68.9 C 25.1 73.21 30.63 73.82 34.94 73.82 L 34.94 73.82 C 39.25 73.82 44.78 73.21 44.78 68.9 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84 L 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 54.13 L 20.18 68.9 C 20.18 75.36 28.48 76.28 34.94 76.28 L 34.94 76.28 C 41.4 76.28 49.7 75.36 49.7 68.9 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84 L 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 39.37 M 17.72 39.37 L 17.72 54.13 L 32.48 54.13 L 32.48 39.37 Z M 32.48 54.13}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{16.29749pt}{11.85779pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 22.55 16.41)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{11.71408pt}{32.66264pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.21 45.2)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

It is straightforward to verify that with this data, 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} satisfies the axioms (i)-(viii) of a semistrict monoidal 2-category as presented in [BN96, Lemma 4]. In fact, each axiom expresses equalities of 2-morphisms that are computed via Khovanov–Rozansky cobordisms maps, and their images are equal since the relevant link cobordisms are isotopic.

0NBJ

Remark 6.2. The definitions of the 2-morphism spaces of 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} and the composition operations are motivated by the isomorphisms

𝐊𝐡𝐑N​(f,g)≅𝐇𝐂𝐡b​(𝐅𝐨𝐚𝐦N)​(⟦f⟧,⟦g⟧),\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g)\cong\boldsymbol{\mathrm{HCh}}^{b}(\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N})(\left\llbracket f\right\rrbracket,\left\llbracket g\right\rrbracket),

where the latter denotes the cohomology category of the dg category of bounded chain complexes over 𝐅𝐨𝐚𝐦N\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N} (compare with [CMW09, Proposition 3.1]). Under these isomorphisms, the horizontal composition corresponds to stacking tangles, the tensor product corresponds to placing tangles side by side, and the vertical composition corresponds to composing homotopy classes of chain maps. In the following, we will take this space saving point of view when describing 2-morphisms. For example, we will say that the 2-morphism in (6.1) is induced by the movie of tangle diagrams:

                               g   f     →                               g   f     \hbox to21.89pt{\vbox to20.72pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-1.8226pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -1.97 L 1.97 11.81 M 9.84 -1.97 L 9.84 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -1.97 L 5.91 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 23.62 L 1.97 25.59 M 9.84 23.62 L 9.84 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 23.62 L 5.91 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -1.97 L 17.72 0 M 25.59 -1.97 L 25.59 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -1.97 L 21.65 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 11.81 L 17.72 25.59 M 25.59 11.81 L 25.59 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 11.81 L 21.65 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 11.81 M 0 11.81 L 0 23.62 L 11.81 23.62 L 11.81 11.81 Z M 11.81 23.62}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 0 M 15.75 0 L 15.75 11.81 L 27.56 11.81 L 27.56 0 Z M 27.56 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{3.67755pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 5.09)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{11.55354pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 15.99)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to21.89pt{\vbox to20.72pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-1.8226pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -1.97 L 1.97 -1.97 M 9.84 -1.97 L 9.84 -1.97}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -1.97 L 5.91 -1.97}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 11.81 L 1.97 25.59 M 9.84 11.81 L 9.84 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 11.81 L 5.91 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -1.97 L 17.72 11.81 M 25.59 -1.97 L 25.59 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -1.97 L 21.65 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 23.62 L 17.72 25.59 M 25.59 23.62 L 25.59 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 23.62 L 21.65 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 11.81 L 11.81 11.81 L 11.81 0 Z M 11.81 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 11.81 M 15.75 11.81 L 15.75 23.62 L 27.56 23.62 L 27.56 11.81 Z M 27.56 23.62}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{12.21326pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 16.9)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{3.01784pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 4.18)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}

6.3. A braided monoidal 2-category

Finally, we equip 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} with the structure of a braided monoidal 2-category. This consists of the following data:

  1. (1)

    The semistrict monoidal 2-category (𝐊𝐡𝐑N,⊗,I)(\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N},\otimes,I).

  2. (2)

    A pseudonatural equivalence R:⊗→⊗opR\colon\otimes\to\otimes^{\textrm{op}}, which assigns to pairs of objects AA and BB the 1-morphism RA,B:A⊗B→B⊗AR_{A,B}\colon A\otimes B\to B\otimes A given by the Morse datum of an (oriented) braid diagram of the form

    RA,B=def                         R_{A,B}\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{def}}}{{=}}\hbox to19.92pt{\vbox to25.61pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}

    In this intentionally asymmetric braid diagram, we see boundary points A⊗BA\otimes B at the bottom and B⊗AB\otimes A at the top. Additionally, for a pair of 1-morphisms f:A→A′f\colon A\to A^{\prime} and g:B→B′g\colon B\to B^{\prime}, it assigns the 2-isomorphism induced by the isotopy:

                             g   f                 →                         f   g                 \hbox to21.89pt{\vbox to34.54pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-10.35829pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 -11.81 M 0 -11.81 L 0 0 L 11.81 0 L 11.81 -11.81 Z M 11.81 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 -11.81 M 15.75 -11.81 L 15.75 0 L 27.56 0 L 27.56 -11.81 Z M 27.56 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{-4.85814pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 -6.72)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{-5.51785pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 -7.64)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -13.78 L 1.97 -11.81 M 9.84 -13.78 L 9.84 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -13.78 L 5.91 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -13.78 L 17.72 -11.81 M 25.59 -13.78 L 25.59 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -13.78 L 21.65 -11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to21.89pt{\vbox to34.54pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.90633pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 31.5 M 0 31.5 L 0 43.31 L 11.81 43.31 L 11.81 31.5 Z M 11.81 43.31}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 31.5 M 15.75 31.5 L 15.75 43.31 L 27.56 43.31 L 27.56 31.5 Z M 27.56 43.31}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.64355pt}{25.7797pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 18.88 35.67)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.42668pt}{26.4394pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.36 36.58)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 43.31 L 1.97 45.27 M 9.84 43.31 L 9.84 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 43.31 L 5.91 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 43.31 L 17.72 45.27 M 25.59 43.31 L 25.59 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 43.31 L 21.65 45.27}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}
  3. (3)

    Additionally there is an invertible modification R~−|−,−\tilde{R}_{-|-,-}, which associates to triples A,BA,B and CC of objects the 2-isomorphisms

    R~(A|B,C):(RA,B⊗C)​(B⊗RA,C)→RA,B⊗C\tilde{R}_{(A|B,C)}\colon(R_{A,B}\otimes C)(B\otimes R_{A,C})\to R_{A,B\otimes C}

    which are induced by isotopies of the following type

                                                           →                               \hbox to31.3pt{\vbox to48.37pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 2.36 C 17.72 13.48 1.97 14.87 1.97 25.98 L 1.97 31.5 M 25.59 0 L 25.59 5.51 C 25.59 16.63 9.84 18.02 9.84 29.13 L 9.84 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 3.94 C 21.65 15.05 5.91 16.44 5.91 27.56 L 5.91 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 14.17 C 1.97 21.07 17.72 15.15 17.72 22.05 L 17.72 31.5 M 9.84 0 L 9.84 9.45 C 9.84 16.34 25.59 10.43 25.59 17.32 L 25.59 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 11.81 C 5.91 18.7 21.65 12.79 21.65 19.68 L 21.65 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 33.46 31.5 L 33.46 33.86 C 33.46 44.97 17.72 46.36 17.72 57.48 L 17.72 62.99 M 41.34 31.5 L 41.34 37.01 C 41.34 48.12 25.59 49.51 25.59 60.63 L 25.59 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 37.4 31.5 L 37.4 35.43 C 37.4 46.55 21.65 47.94 21.65 59.05 L 21.65 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 31.5 L 17.72 45.67 C 17.72 52.56 33.46 46.65 33.46 53.54 L 33.46 62.99 M 25.59 31.5 L 25.59 40.94 C 25.59 47.84 41.34 41.93 41.34 48.82 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 31.5 L 21.65 43.31 C 21.65 50.2 37.4 44.29 37.4 51.18 L 37.4 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 31.5 L 17.72 45.67 C 17.72 52.56 33.46 46.65 33.46 53.54 L 33.46 62.99 M 25.59 31.5 L 25.59 40.94 C 25.59 47.84 41.34 41.93 41.34 48.82 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 31.5 L 21.65 43.31 C 21.65 50.2 37.4 44.29 37.4 51.18 L 37.4 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 31.5 L 1.97 62.99 M 9.84 31.5 L 9.84 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 31.5 L 5.91 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 33.46 0 L 33.46 31.5 M 41.34 0 L 41.34 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 37.4 0 L 37.4 31.5}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to31.3pt{\vbox to48.37pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.00003pt\lower-1.42264pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 0 L 17.72 7.87 C 17.72 27.36 1.97 35.63 1.97 55.12 L 1.97 62.99 M 25.59 0 L 25.59 7.87 C 25.59 27.36 9.84 35.63 9.84 55.12 L 9.84 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 0 L 21.65 7.87 C 21.65 27.36 5.91 35.63 5.91 55.12 L 5.91 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 33.46 0 L 33.46 7.87 C 33.46 27.36 17.72 35.63 17.72 55.12 L 17.72 62.99 M 41.34 0 L 41.34 7.87 C 41.34 27.36 25.59 35.63 25.59 55.12 L 25.59 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 37.4 0 L 37.4 7.87 C 37.4 27.36 21.65 35.63 21.65 55.12 L 21.65 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,1}\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=2.84528pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 25.98 C 1.97 39.77 33.46 27.95 33.46 41.73 L 33.46 62.99 M 9.84 0 L 9.84 21.26 C 9.84 35.04 41.34 23.22 41.34 37.01 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 23.62 C 5.91 37.41 37.4 25.59 37.4 39.37 L 37.4 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}{}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 0 L 1.97 25.98 C 1.97 39.77 33.46 27.95 33.46 41.73 L 33.46 62.99 M 9.84 0 L 9.84 21.26 C 9.84 35.04 41.34 23.22 41.34 37.01 L 41.34 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 0 L 5.91 23.62 C 5.91 37.41 37.4 25.59 37.4 39.37 L 37.4 62.99}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}

    Similarly, the definition of a braided monoidal 2-category calls for the existence of an invertible modification R~−,−|−\tilde{R}_{-,-|-}, which, however, in the case of 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} is simply the identity modification.

Using the functoriality of Khovanov–Rozansky homology it is straightforward to check that these data satisfy the axioms of a braided monoidal 2-category as in [BN96, Definition 6].

6.4. Duality

The braided monoidal 2-category 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} has duals in the sense of [BMS12]. This is a slight modification of the duality proposed by [BL03] and used by [Mac99]. Following [BMS12], instead of three dualities we only consider two dualities #\# and ∗* which correspond to rotations by π\pi in two different axes.

For an object AA, the dual object A#A^{\#} is obtained by reversing the word AA and then exchanging orientations ↑↔↓\uparrow\leftrightarrow\downarrow. On identity 1-morphisms, this corresponds to the result of a π\pi rotation in a vertical line, followed by a change of orientation. There are unit and counit 1-morphisms iA:I→A⊗A#i_{A}\colon I\to A\otimes A^{\#} and eA:A#⊗A→Ie_{A}\colon A^{\#}\otimes A\to I given by nested collections of cups and caps, as well as a triangulator 2-isomorphism TA:(iA⊗A)​(A⊗eA)→AT_{A}\colon(i_{A}\otimes A)(A\otimes e_{A})\to A represented by the obvious string-straightening isotopy. It is clear that A#​#=AA^{\#\#}=A.

Every 1-morphism f:A→Bf\colon A\to B in 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} has a simultaneous left and right adjoint f∗:B→Af^{*}\colon B\to A which is given by the Morse data of the result of reflecting r⁡(f)r(f) by π\pi in a horizontal axis and then reversing orientations (previously we have suggestively drawn this as a reflected ff in figures). Further, there are unit and counit 2-morphisms if:𝟏A→f​f∗i_{f}\colon\mathbf{1}_{A}\to ff^{*} and ef:f∗​f→𝟏Be_{f}\colon f^{*}f\to\mathbf{1}_{B}, which satisfy the expected identities (if​f)​(f​ef)=𝟏f(i_{f}f)(fe_{f})=\mathbf{1}_{f} and (f∗​if)​(ef​f∗)=𝟏f∗(f^{*}i_{f})(e_{f}f^{*})=\mathbf{1}_{f^{*}}. It is clear that f∗⁣∗=ff^{**}=f.

For any 2-morphism α:f→g\alpha\colon f\to g, we denote by α∗:g∗→f∗\alpha^{*}\colon g^{*}\to f^{*} the 2-morphism obtained as the image under the isomorphism

KhRN​(                      f   
 

g

 
     )→KhRN​(                      
 

g

 
   
 

  f 

 
     )\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to27.94pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.42268pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{21.99286pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 30.43)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to32.69pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 9.17015pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} 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\lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.08968pt}{4.20988pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.51 5.83)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-5.83714pt}{21.86786pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -8.08 30.26)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

induced by a planar anticlockwise π\pi-rotation of the shown link diagrams. The dualities ∗* and #\# satisfy a host of unsurprising compatibility relations with the tensor product and the horizontal and vertical composition, which are consequences of the functoriality of KhRN\mathrm{KhR}_{N}. The only non-trivial relation is that for α∈𝐊𝐡𝐑N​(f,g)\alpha\in\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g) we have α∗⁣∗=α\alpha^{**}=\alpha, which is implicit in Definition 2.5, using the fact that foams in 𝐅𝐨𝐚𝐦N\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N} are considered up to isotopy relative to the boundary.

6.5. Pivotality

In [Mac99] Mackaay introduces the notion of sphericality for monoidal 2-categories with suitable duals. This boils down to the extra structure providing natural 2-isomorphisms between right- and left-traces of 1-endomorphisms.

               f     →               
 

f

 
     \hbox to23.72pt{\vbox to22.14pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.2pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 14.76 C 12.3 16.92 15.07 17.22 17.22 17.22 L 17.22 17.22 C 19.38 17.22 22.15 16.92 22.15 14.76 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 C 7.38 19.07 12.92 19.69 17.22 19.69 L 17.22 19.69 C 21.53 19.69 27.07 19.07 27.07 14.76 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 C 2.46 21.23 10.76 22.15 17.22 22.15 L 17.22 22.15 C 23.69 22.15 31.99 21.23 31.99 14.76 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\scalebox{-1}[1]{ \hbox to28.1pt{\vbox to22.14pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.58675pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 14.76 C 12.3 16.92 15.07 17.22 17.22 17.22 L 17.22 17.22 C 19.38 17.22 22.15 16.92 22.15 14.76 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 C 7.38 19.07 12.92 19.69 17.22 19.69 L 17.22 19.69 C 21.53 19.69 27.07 19.07 27.07 14.76 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 C 2.46 21.23 10.76 22.15 17.22 22.15 L 17.22 22.15 C 23.69 22.15 31.99 21.23 31.99 14.76 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.25374pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -1.73 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}} }

For a braided monoidal 2-category with duals, such as 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}, which is categorified ribbon in the sense that it admits 2-isomorphisms that provide a vertical categorification of the framed Reidemeister I move33 3 In contrast, the property of being spatial in [BMS12] is a horizontal categorification of the framed Reidemeister I move., such isomorphisms always exist. In fact there are two natural choices, corresponding to sliding the closure arcs over or under the diagram for ff:

               f     →                                       f                                →                                       f                                →               
 

f

 
     ,               f     →                                       f                                →                                       f                                →               
 

f

 
     \hbox to23.72pt{\vbox to22.14pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 0.2pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 14.76 C 12.3 16.92 15.07 17.22 17.22 17.22 L 17.22 17.22 C 19.38 17.22 22.15 16.92 22.15 14.76 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 C 7.38 19.07 12.92 19.69 17.22 19.69 L 17.22 19.69 C 21.53 19.69 27.07 19.07 27.07 14.76 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 C 2.46 21.23 10.76 22.15 17.22 22.15 L 17.22 22.15 C 23.69 22.15 31.99 21.23 31.99 14.76 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to20.99pt{\vbox to63.4pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-4.66783pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 9.84 74.8 C 9.84 76.53 12.06 76.77 13.78 76.77 L 13.78 76.77 C 15.5 76.77 17.72 76.53 17.72 74.8}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 74.8 C 5.91 78.25 10.33 78.74 13.78 78.74 L 13.78 78.74 C 17.23 78.74 21.65 78.25 21.65 74.8}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} 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The sweep-around property implies that these two choices produce equal 2-isomorphisms in 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}. (Compare [HPT16, Prop A.4], for an apparently analogous situation one dimension down.)

Motivated by the equivalent fact that KhRN\mathrm{KhR}_{N} carries a well-defined action of Diff+​(S3)\mathrm{Diff}^{+}(S^{3}), we propose that 𝐊𝐡𝐑N\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N} should be a prototypical example of some future definition of a S​O​(4)SO(4)-pivotal braided monoidal 2-category, and suggest the possibility that these are the S​O​(4)SO(4) fixed points in the braided monoidal 2-categories with duals.

0NBK

Remark 6.3. An analogous trigraded semistrict braided monoidal 2-category 𝐊𝐡𝐑∞\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{\infty} can be constructed from the triply-graded Khovanov–Rozansky homology, which categorifies the HOMFLY-PT polynomial. This uses the functoriality of Rouquier complexes in the homotopy categories of type A Soergel bimodules under braid cobordisms, which has been proven by [EK10b]. The 2-category 𝐊𝐡𝐑∞\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{\infty} admits vertical duals ∗*, but it has no duality #\# with respect to its monoidal structure. It is an open problem to find a categorification of the HOMFLY-PT polynomial that allows the construction of a version of 𝐊𝐡𝐑∞\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{\infty} that admit duals, and beyond that an S​O​(4)SO(4)-pivotal structure.

Original mathematics by the credited authors. Source collection and HTML conversion remain in progress.

Scott Morrison, Kevin Walker, Paul Wedrich

Original source: arXiv:1907.12194v5