Subsection 6.2. (0NCG) · ScalingStacks

6.2. A semistrict monoidal 2-category

Next, we show that the 2-category $\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}$ admits a semistrict monoidal structure. Following [BN96, Lemma 4] and [Cra98], this consists of the following data:

(1)

The object $I=\emptyset$ .
(2)

For any two objects $A$ and $B$ , another object $A\otimes B$ , which we define as the concatenation of the words $A$ and $B$ .
(3)

For any 1-morphism $f\colon A\to A^{\prime}$ and any object $B$ , a 1-morphism $f\otimes B\colon A\otimes B\to A^{\prime}\otimes B$ , which we define as being represented by the same word of generating morphisms as $f$ . (This has the effect of placing an identity tangle diagram to the right of $f$ .)
(4)

For any 1-morphism $g\colon B\to B^{\prime}$ and any object $A$ , a 1-morphism $A\otimes g\colon A\otimes B\to A\otimes B^{\prime}$ , which we define as being represented by the same word of generating morphisms as $g$ , except that all subscripts are increased by the length of the word $A$ . (This has the effect of placing an identity tangle diagram on $A$ to the left of $g$ .)

(5)

For any object $B$ and each 2-morphism $\alpha\colon f\to f^{\prime}$ , a 2-morphism $\alpha\otimes B\colon f\otimes B\to f^{\prime}\otimes B$ , defined as the image of $\alpha$ under the homomorphism

\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.84pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.318pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.98499pt}{21.72452pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.75 30.06)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to53.02pt{\vbox to48.46pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.318pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 36.42 M 12.3 14.76 L 12.3 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 51.18 C 12.3 53.33 15.07 53.64 17.22 53.64 L 50.69 53.64 C 52.84 53.64 55.61 53.33 55.61 51.18 L 55.61 0 C 55.61 -2.15 52.84 -2.46 50.69 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 51.18 C 7.38 55.49 12.92 56.1 17.22 56.1 L 50.69 56.1 C 55 56.1 60.53 55.49 60.53 51.18 L 60.53 0 C 60.53 -4.31 55 -4.92 50.69 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 51.18 C 2.46 57.64 10.76 58.56 17.22 58.56 L 50.69 58.56 C 57.15 58.56 65.45 57.64 65.45 51.18 L 65.45 0 C 65.45 -6.46 57.15 -7.38 50.69 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 36.42 M 0 36.42 L 0 51.18 L 14.76 51.18 L 14.76 36.42 Z M 14.76 51.18}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.32967pt}{4.08488pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.61 5.65)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.98499pt}{30.26033pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.75 41.87)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 24.61 L 20.18 26.57 M 30.02 24.61 L 30.02 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 24.61 L 25.1 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 41.34 C 30.02 43.49 32.79 43.8 34.94 43.8 L 34.94 43.8 C 37.09 43.8 39.86 43.49 39.86 41.34 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 41.34 C 25.1 45.65 30.63 46.26 34.94 46.26 L 34.94 46.26 C 39.25 46.26 44.78 45.65 44.78 41.34 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 41.34 C 20.18 47.8 28.48 48.72 34.94 48.72 L 34.94 48.72 C 41.4 48.72 49.7 47.8 49.7 41.34 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 26.57 M 17.72 26.57 L 17.72 41.34 L 32.48 41.34 L 32.48 26.57 Z M 32.48 41.34}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{14.57767pt}{11.21198pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 20.17 15.51)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{9.99426pt}{23.30438pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 13.83 32.25)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

which is induced by the link cobordism that is cylindrical, except for the a collection of disks that create a collection of nested circles.

(6)

For any object $A$ and each 2-morphism $\beta\colon g\to g^{\prime}$ , a 2-morphism $A\otimes\beta\colon A\otimes g\to A\otimes g^{\prime}$ , defined as the image of $\beta$ under the homomorphism

\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to28.67pt{\vbox to39.92pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 5.15393pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 24.61 M 12.3 14.76 L 12.3 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 39.37 C 12.3 41.52 15.07 41.83 17.22 41.83 L 17.22 41.83 C 19.38 41.83 22.15 41.52 22.15 39.37 L 22.15 0 C 22.15 -2.15 19.38 -2.46 17.22 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 C 7.38 43.68 12.92 44.29 17.22 44.29 L 17.22 44.29 C 21.53 44.29 27.07 43.68 27.07 39.37 L 27.07 0 C 27.07 -4.31 21.53 -4.92 17.22 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 C 2.46 45.83 10.76 46.75 17.22 46.75 L 17.22 46.75 C 23.69 46.75 31.99 45.83 31.99 39.37 L 31.99 0 C 31.99 -6.46 23.69 -7.38 17.22 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 24.61 M 0 24.61 L 0 39.37 L 14.76 39.37 L 14.76 24.61 Z M 14.76 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{3.49373pt}{4.7446pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 4.83 6.57)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-1.82092pt}{21.72452pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.52 30.06)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)\to\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to53.74pt{\vbox to48.46pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 6.03981pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 14.76 L 2.46 36.42 M 12.3 14.76 L 12.3 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 14.76 L 7.38 36.42}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 12.3 51.18 C 12.3 53.33 15.07 53.64 17.22 53.64 L 50.69 53.64 C 52.84 53.64 55.61 53.33 55.61 51.18 L 55.61 0 C 55.61 -2.15 52.84 -2.46 50.69 -2.46 L 17.22 -2.46 C 15.07 -2.46 12.3 -2.15 12.3 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 51.18 C 7.38 55.49 12.92 56.1 17.22 56.1 L 50.69 56.1 C 55 56.1 60.53 55.49 60.53 51.18 L 60.53 0 C 60.53 -4.31 55 -4.92 50.69 -4.92 L 17.22 -4.92 C 12.92 -4.92 7.38 -4.31 7.38 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 51.18 C 2.46 57.64 10.76 58.56 17.22 58.56 L 50.69 58.56 C 57.15 58.56 65.45 57.64 65.45 51.18 L 65.45 0 C 65.45 -6.46 57.15 -7.38 50.69 -7.38 L 17.22 -7.38 C 10.76 -7.38 2.46 -6.46 2.46 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 14.76 L 14.76 14.76 L 14.76 0 Z M 14.76 14.76}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 36.42 M 0 36.42 L 0 51.18 L 14.76 51.18 L 14.76 36.42 Z M 14.76 51.18}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{1.8766pt}{4.09879pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 2.6 5.67)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-2.7068pt}{30.41757pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -3.75 42.09)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 24.61 L 20.18 26.57 M 30.02 24.61 L 30.02 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 24.61 L 25.1 26.57}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 41.34 C 30.02 43.49 32.79 43.8 34.94 43.8 L 34.94 43.8 C 37.09 43.8 39.86 43.49 39.86 41.34 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 41.34 C 25.1 45.65 30.63 46.26 34.94 46.26 L 34.94 46.26 C 39.25 46.26 44.78 45.65 44.78 41.34 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 41.34 C 20.18 47.8 28.48 48.72 34.94 48.72 L 34.94 48.72 C 41.4 48.72 49.7 47.8 49.7 41.34 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 26.57 M 17.72 26.57 L 17.72 41.34 L 32.48 41.34 L 32.48 26.57 Z M 32.48 41.34}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{16.29749pt}{11.85779pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 22.55 16.41)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{10.98283pt}{23.14714pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 15.2 32.03)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

which is again induced by the link cobordism that is cylindrical, except for the a collection of disks that create a collection of nested circles.

(7)

For any two 1-morphisms $f\colon A\to A^{\prime}$ , $g\colon B\to B^{\prime}$ , a 2-isomorphism

\textstyle\bigotimes_{f,g}\colon(A\otimes g)(f\otimes B^{\prime})\to(f\otimes B)(A^{\prime}\otimes g)

which we define as the image of the identity 2-morphism on $(A\otimes g)(f\otimes B^{\prime})$ under the isotopy-induced homomorphism:

(6.1)

\mathrm{KhR}_{N}\left(\hbox to52.29pt{\vbox to68.38pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 4.58675pt\lower-5.73488pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} \lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 2.46 39.37 L 2.46 39.37 M 12.3 39.37 L 12.3 39.37}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 7.38 39.37 L 7.38 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\lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 30.02 54.13 L 30.02 68.9 C 30.02 71.05 32.79 71.36 34.94 71.36 L 34.94 71.36 C 37.09 71.36 39.86 71.05 39.86 68.9 L 39.86 9.84 C 39.86 7.69 37.09 7.38 34.94 7.38 L 34.94 7.38 C 32.79 7.38 30.02 7.69 30.02 9.84 L 30.02 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 25.1 54.13 L 25.1 68.9 C 25.1 73.21 30.63 73.82 34.94 73.82 L 34.94 73.82 C 39.25 73.82 44.78 73.21 44.78 68.9 L 44.78 9.84 C 44.78 5.53 39.25 4.92 34.94 4.92 L 34.94 4.92 C 30.63 4.92 25.1 5.53 25.1 9.84 L 25.1 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 20.18 54.13 L 20.18 68.9 C 20.18 75.36 28.48 76.28 34.94 76.28 L 34.94 76.28 C 41.4 76.28 49.7 75.36 49.7 68.9 L 49.7 9.84 C 49.7 3.38 41.4 2.46 34.94 2.46 L 34.94 2.46 C 28.48 2.46 20.18 3.38 20.18 9.84 L 20.18 9.84}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 9.84 M 17.72 9.84 L 17.72 24.61 L 32.48 24.61 L 32.48 9.84 Z M 32.48 24.61}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 39.37 M 17.72 39.37 L 17.72 54.13 L 32.48 54.13 L 32.48 39.37 Z M 32.48 54.13}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{16.29749pt}{11.85779pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 22.55 16.41)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{11.71408pt}{32.66264pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 16.21 45.2)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\right)

It is straightforward to verify that with this data, $\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}$ satisfies the axioms (i)-(viii) of a semistrict monoidal 2-category as presented in [BN96, Lemma 4]. In fact, each axiom expresses equalities of 2-morphisms that are computed via Khovanov–Rozansky cobordisms maps, and their images are equal since the relevant link cobordisms are isotopic.

0NBJ

Remark 6.2. The definitions of the 2-morphism spaces of $\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}$ and the composition operations are motivated by the isomorphisms

\boldsymbol{\mathrm{KhR}}_{N}(f,g)\cong\boldsymbol{\mathrm{HCh}}^{b}(\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N})(\left\llbracket f\right\rrbracket,\left\llbracket g\right\rrbracket),

where the latter denotes the cohomology category of the dg category of bounded chain complexes over $\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}$ (compare with [CMW09, Proposition 3.1]). Under these isomorphisms, the horizontal composition corresponds to stacking tangles, the tensor product corresponds to placing tangles side by side, and the vertical composition corresponds to composing homotopy classes of chain maps. In the following, we will take this space saving point of view when describing 2-morphisms. For example, we will say that the 2-morphism in (6.1) is induced by the movie of tangle diagrams:

\hbox to21.89pt{\vbox to20.72pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-1.8226pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -1.97 L 1.97 11.81 M 9.84 -1.97 L 9.84 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -1.97 L 5.91 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 23.62 L 1.97 25.59 M 9.84 23.62 L 9.84 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 23.62 L 5.91 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -1.97 L 17.72 0 M 25.59 -1.97 L 25.59 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -1.97 L 21.65 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 11.81 L 17.72 25.59 M 25.59 11.81 L 25.59 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 11.81 L 21.65 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 11.81 M 0 11.81 L 0 23.62 L 11.81 23.62 L 11.81 11.81 Z M 11.81 23.62}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 0 M 15.75 0 L 15.75 11.81 L 27.56 11.81 L 27.56 0 Z M 27.56 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{3.67755pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 5.09)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{11.55354pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 15.99)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}\to\hbox to21.89pt{\vbox to20.72pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 1.07039pt\lower-1.8226pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 -1.97 L 1.97 -1.97 M 9.84 -1.97 L 9.84 -1.97}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 -1.97 L 5.91 -1.97}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 1.97 11.81 L 1.97 25.59 M 9.84 11.81 L 9.84 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 5.91 11.81 L 5.91 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 -1.97 L 17.72 11.81 M 25.59 -1.97 L 25.59 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 -1.97 L 21.65 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}{}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 17.72 23.62 L 17.72 25.59 M 25.59 23.62 L 25.59 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setdash{0.4pt,2.0pt}{0.0pt}\lxSVG@begingroup@{stroke-dasharray={0.4pt,2.0pt},stroke-dashoffset=0.0pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 21.65 23.62 L 21.65 25.59}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 0 0 M 0 0 L 0 11.81 L 11.81 11.81 L 11.81 0 Z M 11.81 11.81}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {}{{}}{} {}{{}}{}{}{}{}{{}}{}{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 15.75 11.81 M 15.75 11.81 L 15.75 23.62 L 27.56 23.62 L 27.56 11.81 Z M 27.56 23.62}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{13.80762pt}{12.21326pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 19.11 16.9)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} {{}}\lx@inpgf@ignorespaces\hbox{\hbox{{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{}{{}{\lx@inpgf@ignorespaces}} {\lx@inpgf@ignorespaces }{{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{2.26262pt}{3.01784pt}\lxSVG@begingroup@{transform=matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 3.13 4.18)} \pgfsys@hbox{58}\lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope }}} \lxSVG@closescope {{ {}{}{}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{{\lx@inpgf@ignorespaces}}{{}}}}{\lx@inpgf@ignorespaces}{\lx@inpgf@ignorespaces}\hss}\lxSVG@discardpath\lxSVG@closescope \hss}}\lxSVG@closescope\endpgfpicture}}

Scott Morrison, Kevin Walker, Paul Wedrich

Original source: arXiv:1907.12194v5