ScalingStacks

Proof. The chain maps $p$ and $p^{\prime}$ each consist of identity foams decorated by the polynomial $\sum_{a+b=N-1}{X^{a}Y^{b}}$. In $p$, the dots $X$ and $Y$ are placed next to the Reidemeister I crossing, as shown in the first picture on the right. These dots are spatially separated from the region in which the $R2$ and $R3$ moves are taking place, so we can slide them spatially lower in the diagram, and timewise past all the $R2$ and $R3$ moves. At that point, shown in the second diagram on the right, the dots are in exactly the positions to give $p^{\prime}$. $\hbox to38.06pt{\vbox to62.84pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\thinspace\lower-16.20467pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.8pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 34.45 34.45 L 34.45 0}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{}{}{}\lx@inpgf@ignorespaces{{}}{{}}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{{{}{}{{}} }}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{{{}{}{{}} 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