ScalingStacks

Example 2.1. The algebra of decorations on a $1$-facet in $\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}$ can be realised as the space of $2$-morphisms $A_{1}\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{def}}}{{=}}\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}(\emptyset,\bigcirc^{1})$ between the empty web and a $1$-labeled circle. It is spanned by foams consisting of disks, decorated by a number $0\leq n\leq N-1$ of dots, for which we write $X^{n}$. The multiplication of such foams is realised by gluing two such dotted disks onto the legs of a pair of pants, giving $m(X^{n_{1}},X^{n_{2}})=X^{n_{1}+n_{2}}$, subject to the relation $X^{N-1+i}=0$ for $i>0$. In fact, $A_{1}$ is a commutative Frobenius algebra, with counit given by capping disks off:

(2.2)

$$\hbox to29.65pt{\vbox to65.22pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip-13.62639pt\lower 6.5132pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,0}\lxSVG@stroke@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.1} \lxSVG@fill@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.1} \lxSVG@fill\lxSVG@drawpath@unclipped{M 19.69 19.69 C 19.69 11.07 30.75 9.84 39.37 9.84 C 47.99 9.84 59.06 11.07 59.06 19.69 L 59.06 88.58 C 59.06 79.97 47.99 78.74 39.37 78.74 C 30.75 78.74 19.69 79.97 19.69 88.58 L 19.69 19.69}{stroke:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,0}\lxSVG@stroke@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.1} \lxSVG@fill@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.1} \lxSVG@fill\lxSVG@drawpath@unclipped{M 19.69 19.69 C 19.69 28.3 30.75 29.53 39.37 29.53 C 47.99 29.53 59.06 28.3 59.06 19.69 L 59.06 88.58 C 59.06 97.2 47.99 98.43 39.37 98.43 C 30.75 98.43 19.69 97.2 19.69 88.58 L 19.69 19.69}{stroke:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=1.2pt} \lx@inpgf@ignorespaces{}\lxSVG@stroke\lxSVG@drawpath@unclipped{M 19.69 88.58 C 19.69 79.97 30.75 78.74 39.37 78.74 C 47.99 78.74 59.06 79.97 59.06 88.58}{fill:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} 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to65.22pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip-13.62639pt\lower 6.5132pt\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \lxSVG@begingroup@{stroke=#000000} \lxSVG@begingroup@{fill=#000000} \lxSVG@setlinewidth{\the\pgflinewidth}\lxSVG@begingroup@{stroke-width=0.4pt} \lx@inpgf@ignorespaces\nullfont\hbox to0.0pt{\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} {{\lx@inpgf@ignorespaces}} {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,0}\lxSVG@stroke@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.1} 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19.69 19.69 C 19.69 28.3 30.75 29.53 39.37 29.53 C 47.99 29.53 59.06 28.3 59.06 19.69 C 59.06 33.58 53.26 49.21 39.37 49.21 C 25.48 49.21 19.69 33.58 19.69 19.69}{stroke:none} \lx@inpgf@ignorespaces \lxSVG@closescope {}{{}}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{} {{\lx@inpgf@ignorespaces}{}\lx@inpgf@ignorespaces}{{}} {{{}}{{\lx@inpgf@ignorespaces}}}{{}}{{{}}{{}}}{}{{}}{}{}{}\lxSVG@begingroup@{_scopebegin=1} \color[rgb]{1,1,0}\lxSVG@stroke@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{stroke-opacity=0.1} \lxSVG@fill@opacity{0.1}\lxSVG@begingroup@{fill-opacity=0.1} \lxSVG@fill\lxSVG@drawpath@unclipped{M 19.69 88.58 C 19.69 74.69 25.48 59.06 39.37 59.06 C 53.26 59.06 59.06 74.69 59.06 88.58 C 59.06 97.2 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Thus we have $A_{1}\cong{\mathbb{Z}}[X]/\langle X^{N}\rangle\cong H^{*}({\mathbb{C}}P^{N-1})$ as commutative Frobenius algebras, and the $1$-labeled part of $\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}$ is nothing but the quotient of the linearised 2-dimensional oriented cobordism category by the relations in the kernel of the $(1+1)$-dimensional TQFT corresponding to $H^{*}({\mathbb{C}}P^{N-1})$. More generally, we have $A_{k}\stackrel{{\scriptstyle\mathrm{def}}}{{=}}\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}(\emptyset,\bigcirc^{k})\cong H^{*}(\mathrm{Gr}({\mathbb{C}}^{a}\subset{\mathbb{C}}^{N}))\cong\bigwedge^{k}A_{1}$ and $\boldsymbol{\mathrm{Foam}}_{N}$ can be considered as the universal source for a TQFT-like functor defined on foams, which evaluates to $A_{1}$ on $1$-circles and is compatible with induction and restriction between tensor products of exterior powers of $A_{1}$.